Identification de paramètres singuliers dans dans équations aux dérivées partielles
Porteurs du projet
- Slim Chaabane, Faculté des sciences de Sfax, Tunisie
- Houssem Haddar, Equipe Inria IDEFIX / CRI Saclay – Île-de-France
Résumé
Le but de cette équipe associée est de contribuer à l’analyse de problèmes inverses où les paramètres recherchés manquent de régularité. Un exemple typique est le problème géométrique inverse où la géométrie à identifier à partir de données représente le support de discontinuité pour certains paramètres physiques d’une EDP. Ce problème se rencontre dans nombre d’applications comme la géophysique (le paramètre étant la vitesse du son), le contrôle non destructif (le paramètre étant l’impédance d’une fissure, les propriétés diélectriques d’un dépôt), l’imagerie médicale (le paramètre étant la conductivité ), etc… Pour ce type de problèmes, une formulation classique du problème inverse comme un problème d’optimisation se heurterait en général à un défaut de différentiabilité de l’état par rapport au support de la discontinuité. Nous explorons deux stratégies principales pour résoudre ce problème. La première est basée sur la conception d’une fonctionnelle coût appropriée qui serait différentiable bien que la variable d’état ne le soit pas. C’est le cas par exemple de la fonctionnelle de Kohn-Vogelius pour les opérateurs auto-adjoints telle qu’elle a été préalablement établie par les membres de l’équipe. La deuxième stratégie serait de développer des procédures d’inversion sans optimisation qui évitent la dérivée de la variable d’état. C’est le cas par exemple des méthodes d’échantillonnage qui ont été développées pour les fissures par les membres de l’équipe.
Mots clés : A6. – Modeling, simulation and control, A6.2. – Scientific computing, Numerical Analysis & Optimization, A6.2.1. – Numerical analysis of PDE and ODE, A6.2.6. – Optimization, A6.3.1. – Inverse problems
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